Class 8 Maths Chapter 3 Exercise 3.3
गणित प्रश्न 1.
एक समांतर चतुर्भुज ABCD दिया गया है। प्रयुक्त परिभाषा या गुणधर्म सहित प्रत्येक कथन को पूर्ण कीजिए।
(i) AD = …………
(ii) ∠DCB = ………
(iii) OC = ………
(iv) m∠DAB + m∠CDA = ……..
हल:
(i) AD = BC [समांतर चतुर्भुज की विपरीत भुजाएँ बराबर होती हैं]
(ii) ∠DCB = ∠DAB [समांतर चतुर्भुज के विपरीत कोण बराबर होते हैं]
(iii) OC = OA [समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं]
(iv) m∠DAB + m∠CDA = 180° [समांतर चतुर्भुज के आसन्न कोण संपूरक होते हैं]
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प्रश्न 2.
निम्नलिखित समांतर चतुर्भुजों पर विचार कीजिए। अज्ञात x, y, z के मान ज्ञात कीजिए।
हल:
(i) ABCD एक समांतर चतुर्भुज है।
∠B = ∠D [समांतर चतुर्भुज के विपरीत कोण बराबर होते हैं]
∠D = 100°
⇒ y = 100°
∠A + ∠B = 180° [समांतर चतुर्भुज के आसन्न कोण संपूरक होते हैं]
⇒ z + 100° = 180°
⇒ z = 180° – 100° = 80°
∠A = ∠C [समांतर चतुर्भुज के विपरीत कोण]
x = 80°
अतः x = 80°, y = 100° और z = 80°
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(ii) PQRS एक समांतर चतुर्भुज है।
∠P + ∠S = 180° [समांतर चतुर्भुज के आसन्न कोण]
⇒ x + 50° = 180°
x = 180° – 50° = 130°
अब, ∠P = ∠R [विपरीत कोण बराबर होते हैं]
⇒ x = y
⇒ y = 130°
साथ ही, y = z [एकांतर कोण]
z = 130°
अतः, x = 130°, y = 130° और z = 130°
(iii) ABCD एक समचतुर्भुज है।
[∵ विकर्ण 90° पर प्रतिच्छेद करते हैं]
x = 90°
अब ∆OCB में,
x + y + 30° = 180° (कोणों का योग गुणधर्म)
⇒ 90° + y + 30° = 180°
⇒ y + 120° = 180°
⇒ y = 180° – 120° = 60°
y = z (एकांतर कोण)
⇒ z = 60°
अतः, x = 90°, y = 60° और z = 60°।
(iv) ABCD एक समांतर चतुर्भुज है।
∠A + ∠B = 180° (समांतर चतुर्भुज के आसन्न कोण संपूरक होते हैं)
⇒ x + 80° = 180°
⇒ x = 180° – 80° = 100°
अब, ∠D = ∠B [समांतर चतुर्भुज के विपरीत कोण]
⇒ y = 80°
साथ ही, z = ∠B = 80° (एकांतर कोण)
अतः x = 100°, y = 80° और z = 80°
(v) ABCD एक समांतर चतुर्भुज है।
∠D = ∠B [समांतर चतुर्भुज के विपरीत कोण]
y = 112°
x + y + 40° = 180° [कोणों का योग गुणधर्म]
⇒ x + 112° + 40° = 180°
⇒ x + 152° = 180°
⇒ x = 180° – 152 = 28°
z = x = 28° (एकांतर कोण)
अतः x = 28°, y = 112°, z = 28°।
कक्षा 8 गणित प्रश्न 3.
क्या चतुर्भुज ABCD समांतर चतुर्भुज हो सकता है यदि
(i) ∠D + ∠B = 180°?
(ii) AB = DC = 8 cm, AD = 4 cm और BC = 4.4 cm?
(iii) ∠A = 70° और ∠C = 65°?
हल:
(i) ∠D + ∠B = 180° के लिए, चतुर्भुज ABCD समांतर चतुर्भुज हो सकता है यदि निम्नलिखित शर्तें भी पूरी हों।
(a) आसन्न कोणों के मापों का योग 180° होना चाहिए।
(b) विपरीत कोणों के माप भी समान होने चाहिए। अतः, ABCD समांतर चतुर्भुज हो सकता है, लेकिन अनिवार्य नहीं है।
(ii) दिया गया है: AB = DC = 8 cm, AD = 4 cm, BC = 4.4 cm।
समांतर चतुर्भुज में, विपरीत भुजाएँ बराबर होती हैं।
यहाँ AD ≠ BC।
अतः, ABCD समांतर चतुर्भुज नहीं हो सकता।
(iii) ∠A = 70° और ∠C = 65°।
चूंकि ∠A ≠ ∠C,
चतुर्भुज के विपरीत कोण बराबर नहीं होते।
इसलिए, ABCD एक समांतर चतुर्भुज नहीं है।
अभ्यास 3.3 कक्षा 8 गणित प्रश्न 4.
एक चतुर्भुज का मोटा-मोटा चित्र बनाइए जो समांतर चतुर्भुज न हो, परन्तु जिसके ठीक दो विपरीत कोण बराबर माप के हों।
हल:
ABCD एक चतुर्भुज का मोटा-मोटा चित्र है जिसमें m∠A = m∠C है, परन्तु यह समांतर चतुर्भुज नहीं है। यह एक पतंग है।
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प्रश्न 5.
एक समांतर चतुर्भुज के दो आसन्न कोणों का माप 3:2 के अनुपात में है। समांतर चतुर्भुज के प्रत्येक कोण का माप ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए ABCD एक समांतर चतुर्भुज है, जिसमें
m∠B : m∠C = 3 : 2 है।
मान लीजिए m∠B = 3x° और m∠C = 2x°, तो
m∠B + m∠C = 180° (आसन्न कोणों का योग = 180°)।
3x + 2x = 180°
⇒ 5x = 180°
⇒ x = 36°।
अतः, ∠B = 3 × 36 = 108°,
∠C = 2 × 36° = 72°
, ∠B = ∠D = 108°
और ∠A = ∠C = 72°।
इसलिए, समांतर चतुर्भुज के कोणों का माप 108°, 72°, 108° और 72° है।
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कक्षा 8 गणित प्रश्न 6.
एक समांतर चतुर्भुज के दो आसन्न कोणों का माप बराबर है। समांतर चतुर्भुज के प्रत्येक कोण का माप ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए ABCD एक समांतर चतुर्भुज है जिसमें
∠A = ∠B
है। हम जानते हैं कि ∠A + ∠B = 180° [आसन्न कोणों का योग = 180°]।
∠A + ∠A = 180°
⇒ 2∠A = 180°
⇒ ∠A = 90°।
अतः, ∠A = ∠C = 90° और ∠B = ∠D = 90°
[समांतर चतुर्भुज के विपरीत कोण बराबर होते हैं]।
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कक्षा 8 गणित प्रश्न 7.
संलग्न आकृति HOPE एक समांतर चतुर्भुज है। कोण x, y और z के माप ज्ञात कीजिए। इन्हें ज्ञात करने के लिए उपयोग किए गए गुणधर्मों का उल्लेख कीजिए।
हल:
∠y = 40° (एकांतर कोण)
∠z + 40° = 70° (बाह्य कोण गुणधर्म)
⇒ ∠z = 70° – 40° = 30°
z = ∠EPH (एकांतर कोण)
∆EPH में
∠x + 40° + ∠z = 180° (आसन्न कोण)
⇒ ∠x + 40° + 30° = 180°
⇒ ∠x + 70° = 180°
⇒ ∠x = 180° – 70° = 110°
अतः x = 110°, y = 40° और z = 30°।
प्रश्न 8.
निम्नलिखित आकृतियाँ GUNS और RUNS समांतर चतुर्भुज हैं। x और y ज्ञात कीजिए। (लंबाई सेंटीमीटर में है)
हल:
(i) GU = SN (समांतर चतुर्भुज की विपरीत भुजाएँ)
⇒ y + 7 = 20
⇒ y = 20 – 7 = 13
साथ ही, ON = OR
⇒ x + y = 16
⇒ x + 13 = 16
x = 16 – 13 = 3
अतः, x = 3 सेंटीमीटर और y = 13 सेंटीमीटर।
प्रश्न 9.
ऊपर दिए गए चित्र में RISK और CLUE दोनों समांतर चतुर्भुज हैं। x का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
Class 8 Maths Chapter 3 Exercise 3.3
यहाँ RISK और CLUE दो समांतर चतुर्भुज हैं।
समांतर चतुर्भुज के विपरीत कोण ∠1 = ∠L = 70°
∠K + ∠2 = 180°
आसन्न कोणों का योग 180° होता है।
120° + ∠2 = 180°
∠2 = 180° – 120° = 60°
∆OES में,
∠x + ∠1 + ∠2 = 180° (कोणों के योग का गुणधर्म)
⇒ ∠x + 70° + 60° = 180°
⇒ ∠x + 130° = 180°
⇒ ∠x = 180° – 130° = 50°
अतः x = 50°
और ढूंढेंसामान्य संदर्भविज्ञानअंक शास्त्र 10.
और ढूंढें
सामान्य संदर्भ
विज्ञान
अंक शास्त्र
10.
समझाइए कि यह आकृति एक समलंब चतुर्भुज कैसे है। इसकी कौन सी दो भुजाएँ समांतर हैं?
हल:
∠M + ∠L = 100° + 80° = 180°।
∠M और ∠L आसन्न कोण हैं, और आसन्न आंतरिक कोणों का योग 180° होता है।
KL, NM के समांतर है।
अतः KLMN एक समलंब चतुर्भुज है।
अभ्यास 3.3 कक्षा 8 गणित प्रश्न 11.
नीचे दी गई आकृति में m∠C ज्ञात कीजिए
समाधान:
m∠B + m∠C = 180° (समांतर चतुर्भुज के आसन्न कोणों का योग 180° होता है)
120° + m∠C = 180°
m∠C = 180° – 120° = 60°
अतः m∠C = 60°
