कक्षा 10वीं गणित | अध्याय 3: दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म Objective Questions
1. निम्न में से कौन x – 2y = 0 तथा 3x + 4y = 10 का हल है? [2018]
(A) x = 2, y = 1
(B) x = 1, y = 1
(C) x = 2, y = 2
(D) x = 3, y = 1
उत्तर: (A)
हल: x – 2y = 0 से x = 2y. दूसरे समीकरण में रखने पर: 3(2y) + 4y = 10 ⇒ 10y = 10 ⇒ y = 1, इसलिए x = 2.
हल: x – 2y = 0 से x = 2y. दूसरे समीकरण में रखने पर: 3(2y) + 4y = 10 ⇒ 10y = 10 ⇒ y = 1, इसलिए x = 2.
2. यदि 0.3x – 0.37 = 0.37x – 0.3 तो x का मान है: [2018A]
(A) -1
(B) -2
(C) +1
(D) +2
उत्तर: (A)
हल: 0.3x – 0.37x = -0.3 + 0.37 ⇒ -0.07x = 0.07 ⇒ x = 0.07 / (-0.07) = -1.
हल: 0.3x – 0.37x = -0.3 + 0.37 ⇒ -0.07x = 0.07 ⇒ x = 0.07 / (-0.07) = -1.
3. एक रैखिक समीकरण का घात होगा: [2016A I, 2021A]
(A) 0
(B) 2
(C) 1
(D) इनमें से कोई नहीं
उत्तर: (C)
हल: परिभाषा के अनुसार, एक घात वाले बहुपद या समीकरण को रैखिक समीकरण कहा जाता है। अतः घात 1 होगा।
हल: परिभाषा के अनुसार, एक घात वाले बहुपद या समीकरण को रैखिक समीकरण कहा जाता है। अतः घात 1 होगा।
4. दो चर x, y में रैखिक समीकरण ax + by + c = 0 के कितने अधिकतम हल संभव हैं? [2020A I, 2021A]
(A) 1
(B) 2
(C) अनगिनत
(D) इनमें से कोई नहीं
उत्तर: (C)
हल: ax + by + c = 0 का आलेख एक सरल रेखा होती है जिस पर अनंत बिंदु स्थित होते हैं, अतः इसके अनगिनत हल संभव हैं।
हल: ax + by + c = 0 का आलेख एक सरल रेखा होती है जिस पर अनंत बिंदु स्थित होते हैं, अतः इसके अनगिनत हल संभव हैं।
कक्षा 10वीं गणित | अध्याय 3: दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म Objective Questions
5. यदि दो चर में दो रैखिक समीकरणों के आलेख प्रतिच्छेदी रेखाएँ हों, तो हलों की संख्या है: [2021A II]
(A) सिर्फ एक
(B) कोई हल नहीं
(C) अनन्त हल
(D) इनमें से कोई नहीं
उत्तर: (A)
हल: दो प्रतिच्छेदी रेखाएँ केवल एक उभयनिष्ठ बिंदु पर मिलती हैं, अतः निकाय का केवल एक (अद्वितीय) हल होता है।
हल: दो प्रतिच्छेदी रेखाएँ केवल एक उभयनिष्ठ बिंदु पर मिलती हैं, अतः निकाय का केवल एक (अद्वितीय) हल होता है।
6. यदि 3x – 5y = 0 तथा 9x + 15y = 0 तो x तथा y के मान होंगे: [2021A II]
(A) x = 1, y = 1
(B) x = 0, y = 0
(C) x = 3, y = 0
(D) x = 0, y = 5
उत्तर: (B)
हल: पहले समीकरण को 3 से गुणा कर जोड़ने पर: 9x – 15y + 9x + 15y = 0 ⇒ 18x = 0 ⇒ x = 0, अतः y = 0.
हल: पहले समीकरण को 3 से गुणा कर जोड़ने पर: 9x – 15y + 9x + 15y = 0 ⇒ 18x = 0 ⇒ x = 0, अतः y = 0.
7. रैखिक समीकरण युग्म 2x – 3y + 2 = 0, 6x – 9y + 5 = 0 के कितने हल होंगे? [2022A II]
(A) एक और केवल एक हल
(B) कोई हल नहीं
(C) अनगिनत हल
(D) इनमें से कोई नहीं
उत्तर: (B)
हल: a₁/a₂ = 2/6 = 1/3, b₁/b₂ = -3/-9 = 1/3, c₁/c₂ = 2/5. यहाँ a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ (समांतर रेखाएँ), अतः कोई हल नहीं।
हल: a₁/a₂ = 2/6 = 1/3, b₁/b₂ = -3/-9 = 1/3, c₁/c₂ = 2/5. यहाँ a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ (समांतर रेखाएँ), अतः कोई हल नहीं।
कक्षा 10वीं गणित | अध्याय 3: दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म Objective Questions
8. यदि 2x + 3y = 11 और 2x – 4y = -24, तो: [2020A II, 2022A II]
(A) x = 2, y = 4
(B) x = -2, y = -5
(C) x = -3, y = 1
(D) x = -2, y = 5
उत्तर: (D)
हल: घटाने पर: (2x + 3y) – (2x – 4y) = 11 – (-24) ⇒ 7y = 35 ⇒ y = 5. फिर 2x = 11 – 15 = -4 ⇒ x = -2.
हल: घटाने पर: (2x + 3y) – (2x – 4y) = 11 – (-24) ⇒ 7y = 35 ⇒ y = 5. फिर 2x = 11 – 15 = -4 ⇒ x = -2.
9. दो रैखिक समीकरणों के लेखाचित्र यदि संपाती रेखाएँ हैं तो उनके कितने हल होंगे? [2023A I]
(A) एक हल
(B) कोई हल नहीं
(C) अनगिनत हल
(D) इनमें से कोई नहीं
उत्तर: (C)
हल: संपाती रेखाओं के प्रत्येक बिंदु उभयनिष्ठ होते हैं, इसलिए इस स्थिति में समीकरणों के अनगिनत (अनंत) हल होते हैं।
हल: संपाती रेखाओं के प्रत्येक बिंदु उभयनिष्ठ होते हैं, इसलिए इस स्थिति में समीकरणों के अनगिनत (अनंत) हल होते हैं।
10. समीकरण 2x – y – 3 = 0 एवं 12x + 7y – 5 = 0 के आलेख किस प्रकार की सरल रेखाएँ होंगी? [2023A I]
(A) संपाती सरल रेखाएँ
(B) समांतर सरल रेखाएँ
(C) प्रतिच्छेदी सरल रेखाएँ
(D) इनमें से कोई नहीं
उत्तर: (C)
हल: a₁/a₂ = 2/12 = 1/6 तथा b₁/b₂ = -1/7. चूँकि a₁/a₂ ≠ b₁/b₂, इसलिए रेखाएँ प्रतिच्छेदी सरल रेखाएँ होंगी।
हल: a₁/a₂ = 2/12 = 1/6 तथा b₁/b₂ = -1/7. चूँकि a₁/a₂ ≠ b₁/b₂, इसलिए रेखाएँ प्रतिच्छेदी सरल रेखाएँ होंगी।
11. x – y = 0 का आलेख कैसी सरल रेखा होगी? [2023A I]
(A) x-अक्ष के समांतर
(B) y-अक्ष के समांतर
(C) मूल बिन्दु से जाती हुई
(D) इनमें से कोई नहीं
उत्तर: (C)
हल: x – y = 0 ⇒ x = y. बिन्दु (0, 0) रखने पर 0 – 0 = 0 संतुष्ट होता है, अतः रेखा मूल बिंदु से होकर जाती है।
हल: x – y = 0 ⇒ x = y. बिन्दु (0, 0) रखने पर 0 – 0 = 0 संतुष्ट होता है, अतः रेखा मूल बिंदु से होकर जाती है।
12. यदि 2a + 3b = 8 एवं 3a – 4b = -5 हो तो: [2024A I]
(A) a = 1, b = 2
(B) a = 2, b = 1
(C) a = -1, b = 2
(D) a = 2, b = -2
उत्तर: (A)
हल: पहले समीकरण में a = 1, b = 2 रखने पर: 2(1) + 3(2) = 8 तथा दूसरे में: 3(1) – 4(2) = -5 सत्य है।
हल: पहले समीकरण में a = 1, b = 2 रखने पर: 2(1) + 3(2) = 8 तथा दूसरे में: 3(1) – 4(2) = -5 सत्य है।
13. रैखिक समीकरण युग्म 2x – 3y = 8 एवं 4x – 6y = 9 हैं: [2024A I]
(A) संगत
(B) असंगत
(C) आश्रित
(D) इनमें से कोई नहीं
उत्तर: (B)
हल: a₁/a₂ = 2/4 = 1/2, b₁/b₂ = -3/-6 = 1/2, c₁/c₂ = 8/9. a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ होने से कोई हल नहीं होगा, अतः निकाय असंगत है।
हल: a₁/a₂ = 2/4 = 1/2, b₁/b₂ = -3/-6 = 1/2, c₁/c₂ = 8/9. a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ होने से कोई हल नहीं होगा, अतः निकाय असंगत है।
कक्षा 10वीं गणित | अध्याय 3: दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म Objective Questions
14. यदि 3x + 4y = 10 एवं 2x – 2y = 2 हो तो: [2024A II]
(A) x = 2, y = 1
(B) x = 1, y = 2
(C) x = -1, y = -2
(D) x = 3, y = 1
उत्तर: (A)
हल: 2x – 2y = 2 ⇒ x – y = 1 ⇒ x = y + 1. मान रखने पर: 3(y + 1) + 4y = 10 ⇒ 7y = 7 ⇒ y = 1, x = 2.
हल: 2x – 2y = 2 ⇒ x – y = 1 ⇒ x = y + 1. मान रखने पर: 3(y + 1) + 4y = 10 ⇒ 7y = 7 ⇒ y = 1, x = 2.
15. रैखिक समीकरण युग्म (3/2)x + (5/3)y = 7 एवं 9x – 10y = 14 हैं: [2024A II]
(A) अविरोधी
(B) विरोधी
(C) आश्रित
(D) इनमें से कोई नहीं
उत्तर: (A)
हल: a₁/a₂ = (3/2)/9 = 1/6 तथा b₁/b₂ = (5/3)/(-10) = -1/6. a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ होने से इसका अद्वितीय हल है, अतः निकाय अविरोधी (संगत) है।
हल: a₁/a₂ = (3/2)/9 = 1/6 तथा b₁/b₂ = (5/3)/(-10) = -1/6. a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ होने से इसका अद्वितीय हल है, अतः निकाय अविरोधी (संगत) है।
16. समीकरण निकाय 2x – 3y = 5 तथा 4x – 6y = 7 के हल हैं: [2024A II]
(A) एक और केवल एक हल
(B) कोई हल नहीं
(C) अनगिनत हल
(D) इनमें से कोई नहीं
उत्तर: (B)
हल: 2/4 = -3/-6 ≠ 5/7 ⇒ 1/2 = 1/2 ≠ 5/7. रेखाएँ समांतर होने के कारण इसका कोई हल नहीं होगा।
हल: 2/4 = -3/-6 ≠ 5/7 ⇒ 1/2 = 1/2 ≠ 5/7. रेखाएँ समांतर होने के कारण इसका कोई हल नहीं होगा।
17. यदि सरल रेखाएँ 4x + py = 16 तथा 2x + 9y = 15 समांतर हैं तो p का मान क्या होगा? [2024A II]
(A) 1/3
(B) 3
(C) 18
(D) -3
उत्तर: (C)
हल: समांतर रेखाओं के लिए शर्त: a₁/a₂ = b₁/b₂ ⇒ 4/2 = p/9 ⇒ 2 = p/9 ⇒ p = 18.
हल: समांतर रेखाओं के लिए शर्त: a₁/a₂ = b₁/b₂ ⇒ 4/2 = p/9 ⇒ 2 = p/9 ⇒ p = 18.
18. यदि p(x) = x5 – 5x² + 6 को q(x) = x³ – 4 से भाग दिया जाता है तो भागफल का घात है: [2026A II]
(A) 4
(B) 3
(C) 2
(D) 1
उत्तर: (C)
हल: भागफल की घात = भाज्य की घात – भाजक की घात = 5 – 3 = 2.
हल: भागफल की घात = भाज्य की घात – भाजक की घात = 5 – 3 = 2.
कक्षा 10वीं गणित | अध्याय 3: दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म Objective Questions
19. 3x – 7y + 15 = 0, 6x – 14y – 32 = 0 के कितने हल होंगे? [2026A II]
(A) एक हल
(B) कोई हल नहीं
(C) अनगिनत हल
(D) इनमें से कोई नहीं
उत्तर: (B)
हल: a₁/a₂ = 3/6 = 1/2, b₁/b₂ = -7/-14 = 1/2, c₁/c₂ = 15/-32. a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ होने से कोई हल नहीं।
हल: a₁/a₂ = 3/6 = 1/2, b₁/b₂ = -7/-14 = 1/2, c₁/c₂ = 15/-32. a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ होने से कोई हल नहीं।
20. ‘k’ के किस मान के लिए रैखिक समीकरण युग्म 2x – y – 3 = 0, 2kx + 7y – 5 = 0 का एकमात्र हल x = 1, y = -1 है? [2018A I]
(A) 3
(B) 4
(C) 6
(D) -6
उत्तर: (C)
हल: दूसरे समीकरण में x = 1, y = -1 रखने पर: 2k(1) + 7(-1) – 5 = 0 ⇒ 2k – 12 = 0 ⇒ 2k = 12 ⇒ k = 6.
हल: दूसरे समीकरण में x = 1, y = -1 रखने पर: 2k(1) + 7(-1) – 5 = 0 ⇒ 2k – 12 = 0 ⇒ 2k = 12 ⇒ k = 6.
21. यदि (2k – 1, k) समीकरण 10x – 9y = 12 का हल हो, तो k = [2018A I]
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
उत्तर: (B)
हल: x = 2k – 1, y = k रखने पर: 10(2k – 1) – 9(k) = 12 ⇒ 20k – 10 – 9k = 12 ⇒ 11k = 22 ⇒ k = 2.
हल: x = 2k – 1, y = k रखने पर: 10(2k – 1) – 9(k) = 12 ⇒ 20k – 10 – 9k = 12 ⇒ 11k = 22 ⇒ k = 2.
22. यदि 173x + 197y = 149 और 197x + 173y = 221, तो (x, y) होगा: [2018A II]
(A) (3, -2)
(B) (2, 1)
(C) (1, -2)
(D) (2, -1)
उत्तर: (D)
हल: दोनों को जोड़ने पर 370x + 370y = 370 ⇒ x + y = 1. घटाने पर -24x + 24y = -72 ⇒ x – y = 3. हल करने पर x = 2, y = -1.
हल: दोनों को जोड़ने पर 370x + 370y = 370 ⇒ x + y = 1. घटाने पर -24x + 24y = -72 ⇒ x – y = 3. हल करने पर x = 2, y = -1.
23. सरल रेखा जो x = -1 तथा y = +4 से निरूपित की जाती है: [2018A II]
(A) एक-दूसरे के लम्बवत् हैं
(B) एक-दूसरे के समानान्तर हैं
(C) न तो समानांतर न लंबवत
(D) कोई निष्कर्ष नहीं कहा जा सकता
उत्तर: (A)
हल: x = -1 एक ऊर्ध्वाधर रेखा है और y = 4 एक क्षैतिज रेखा है। दोनों परस्पर लंबवत (90°) होती हैं।
हल: x = -1 एक ऊर्ध्वाधर रेखा है और y = 4 एक क्षैतिज रेखा है। दोनों परस्पर लंबवत (90°) होती हैं।
24. रैखिक समीकरण युग्म x + 2y = 5 तथा 3x + 12y = 10 का: [2018A II]
(A) एकल हल होगा
(B) कोई हल नहीं होगा
(C) एक से अधिक हल होगा
(D) अनन्त हल होंगे
उत्तर: (A)
हल: a₁/a₂ = 1/3 तथा b₁/b₂ = 2/12 = 1/6. चूँकि 1/3 ≠ 1/6, इसलिए निकाय का अद्वितीय (एकल) हल होगा।
हल: a₁/a₂ = 1/3 तथा b₁/b₂ = 2/12 = 1/6. चूँकि 1/3 ≠ 1/6, इसलिए निकाय का अद्वितीय (एकल) हल होगा।
25. समीकरण युग्म x + 2y + 5 = 0 तथा -3x – 6y + 1 = 0 के हल हैं: [2019A I]
(A) अद्वितीय हल
(B) अनंत हल
(C) कोई हल नहीं
(D) इनमें से कोई नहीं
उत्तर: (C)
हल: a₁/a₂ = 1/(-3), b₁/b₂ = 2/(-6) = -1/3, c₁/c₂ = 5/1. a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ होने से कोई हल नहीं।
हल: a₁/a₂ = 1/(-3), b₁/b₂ = 2/(-6) = -1/3, c₁/c₂ = 5/1. a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ होने से कोई हल नहीं।
26. यदि समीकरण kx – 5y = 2 तथा 6x + 2y = 7 के कोई हल न हो, तो: [2019A I]
(A) k = -10
(B) k = -5
(C) k = -6
(D) k = -15
उत्तर: (D)
हल: कोई हल न होने की शर्त: k/6 = -5/2 ⇒ 2k = -30 ⇒ k = -15.
हल: कोई हल न होने की शर्त: k/6 = -5/2 ⇒ 2k = -30 ⇒ k = -15.
27. रैखिक समीकरण युग्म x + 3y – 4 = 0 तथा 2x – 5y – 1 = 0 है: [2019A II]
(A) अविरोधी
(B) विरोधी
(C) आश्रित
(D) कोई नहीं
उत्तर: (A)
हल: a₁/a₂ = 1/2 तथा b₁/b₂ = 3/(-5). a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ होने के कारण इसका केवल एक हल होगा, अतः यह अविरोधी है।
हल: a₁/a₂ = 1/2 तथा b₁/b₂ = 3/(-5). a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ होने के कारण इसका केवल एक हल होगा, अतः यह अविरोधी है।
28. यदि दो चर में दो रैखिक समीकरणों के हल अनंत हों तो उनके आलेख होंगे: [2019A II]
(A) दो समांतर रेखाएँ
(B) दो प्रतिच्छेदी रेखाएँ
(C) दो सम्पाती रेखाएँ
(D) इनमें से कोई नहीं
उत्तर: (C)
हल: अनंत हल तभी संभव हैं जब दोनों समीकरण एक ही रेखा को निरूपित करते हों, अर्थात् दोनों रेखाएँ सम्पाती हों।
हल: अनंत हल तभी संभव हैं जब दोनों समीकरण एक ही रेखा को निरूपित करते हों, अर्थात् दोनों रेखाएँ सम्पाती हों।
कक्षा 10वीं गणित | अध्याय 3: दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म Objective Questions
29. यदि समीकरण 3x – y = 5 तथा 6x – 2y = k के कोई हल न हो, तो: [2020A I]
(A) k = 0
(B) k ≠ 0
(C) k ≠ 10
(D) k = -10
उत्तर: (C)
हल: a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ ⇒ 3/6 = -1/-2 ≠ 5/k ⇒ 1/2 ≠ 5/k ⇒ k ≠ 10.
हल: a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ ⇒ 3/6 = -1/-2 ≠ 5/k ⇒ 1/2 ≠ 5/k ⇒ k ≠ 10.
30. यदि समीकरण x – 2y = 3 तथा 3x + ky = 1 का एक अद्वितीय हल हो, तो: [2020A II]
(A) k = -6
(B) k ≠ -6
(C) k = 0
(D) k ≠ 0
उत्तर: (B)
हल: अद्वितीय हल के लिए a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ ⇒ 1/3 ≠ -2/k ⇒ k ≠ -6.
हल: अद्वितीय हल के लिए a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ ⇒ 1/3 ≠ -2/k ⇒ k ≠ -6.
31. k के किस मान के लिए समीकरण निकाय 4x + ky = 6, 2x – 4y = 3 के अनगिनत हल होंगे? [2020A II]
(A) -2
(B) -8
(C) 8
(D) 2
उत्तर: (B)
हल: अनगिनत हल के लिए 4/2 = k/(-4) = 6/3 ⇒ 2 = k/(-4) ⇒ k = -8.
हल: अनगिनत हल के लिए 4/2 = k/(-4) = 6/3 ⇒ 2 = k/(-4) ⇒ k = -8.
दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म Objective Questions
32. यदि रैखिक समीकरण का युग्म असंगत हैं तो उसे निरूपित करने वाली रेखाएँ होंगी: [2020A II]
(A) समांतर
(B) सदैव सम्पाती
(C) सदैव प्रतिच्छेदी
(D) प्रतिच्छेदी अथवा सम्पाती
उत्तर: (A)
हल: असंगत युग्म का कोई हल नहीं होता, और रेखाओं के बीच कोई उभयनिष्ठ बिंदु न होने पर वे समांतर रेखाएँ होती हैं।
हल: असंगत युग्म का कोई हल नहीं होता, और रेखाओं के बीच कोई उभयनिष्ठ बिंदु न होने पर वे समांतर रेखाएँ होती हैं।
33. समीकरण युग्म 2x + 3y = 5 तथा 4x + 6y = 15 का हल है: [2020A I, 2021A I]
(A) अद्वितीय हल
(B) अनंत हल
(C) कोई हल नहीं
(D) इनमें से कोई नहीं
उत्तर: (C)
हल: a₁/a₂ = 2/4 = 1/2, b₁/b₂ = 3/6 = 1/2, c₁/c₂ = 5/15 = 1/3. यहाँ 1/2 = 1/2 ≠ 1/3, अतः कोई हल नहीं।
हल: a₁/a₂ = 2/4 = 1/2, b₁/b₂ = 3/6 = 1/2, c₁/c₂ = 5/15 = 1/3. यहाँ 1/2 = 1/2 ≠ 1/3, अतः कोई हल नहीं।
34. यदि रैखिक समीकरणों का युग्म संगत है तब उनके द्वारा निरूपित रेखाएँ होती हैं: [2021A I]
(A) समांतर
(B) हमेशा प्रतिच्छेदी
(C) हमेशा संपाती
(D) प्रतिच्छेदी या संपाती
उत्तर: (D)
हल: संगत निकाय के कम से कम एक हल होते हैं (अद्वितीय या अनंत), इसलिए रेखाएँ प्रतिच्छेदी या संपाती हो सकती हैं।
हल: संगत निकाय के कम से कम एक हल होते हैं (अद्वितीय या अनंत), इसलिए रेखाएँ प्रतिच्छेदी या संपाती हो सकती हैं।
35. रैखिक समीकरण युग्म 5x + 2y = 16 एवं 7x – 4y = 2 के हल हैं: [2021A I]
(A) x = 2, y = 3
(B) x = 2, y = 1
(C) x = 1, y = 3
(D) x = 0, y = 3
उत्तर: (A)
हल: पहले समीकरण को 2 से गुणा कर जोड़ने पर: 10x + 4y + 7x – 4y = 32 + 2 ⇒ 17x = 34 ⇒ x = 2, अतः y = 3.
हल: पहले समीकरण को 2 से गुणा कर जोड़ने पर: 10x + 4y + 7x – 4y = 32 + 2 ⇒ 17x = 34 ⇒ x = 2, अतः y = 3.
दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म Objective Questions
36. समीकरण निकाय 6x – 2y + 9 = 0 और 3x – y + 12 = 0 का आलेख दो सरल रेखाएँ हैं जो: [2021A I]
(A) संपाती है
(B) समान्तर है
(C) केवल एक बिन्दु पर प्रतिच्छेद करती है
(D) इनमें से कोई नहीं
उत्तर: (B)
हल: 6/3 = -2/-1 ≠ 9/12 ⇒ 2 = 2 ≠ 3/4. अनुपात से स्पष्ट है कि रेखाएँ परस्पर समांतर हैं।
हल: 6/3 = -2/-1 ≠ 9/12 ⇒ 2 = 2 ≠ 3/4. अनुपात से स्पष्ट है कि रेखाएँ परस्पर समांतर हैं।
37. y – 4 = 0 का आलेख कैसी सरल रेखा होगी? [2022A II]
(A) x-अक्ष के समांतर
(B) y-अक्ष के समांतर
(C) मूल बिन्दु से जाती हुई
(D) इनमें से कोई नहीं
उत्तर: (A)
हल: y = 4 में प्रत्येक बिंदु का y-निर्देशांक स्थिर है, जो x-अक्ष से 4 मात्रक की समान दूरी पर एक समांतर रेखा बनाता है।
हल: y = 4 में प्रत्येक बिंदु का y-निर्देशांक स्थिर है, जो x-अक्ष से 4 मात्रक की समान दूरी पर एक समांतर रेखा बनाता है।
38. युगपत रैखिक समीकरणों के निकाय a₁x + b₁y = c₁, a₂x + b₂y = c₂ के अनगिनत हल प्राप्त होते हैं यदि: [2022A II]
(A) a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂
(B) a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ = c₁/c₂
(C) a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ ≠ c₁/c₂
(D) a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂
उत्तर: (D)
हल: मानक नियम के अनुसार, जब a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ हो, तो निकाय के अनगिनत (अनंत) हल होते हैं।
हल: मानक नियम के अनुसार, जब a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ हो, तो निकाय के अनगिनत (अनंत) हल होते हैं।
39. a का मान जिसके लिए समीकरण निकाय ax + 10y = 9, 2x + 5y = 11 का कोई हल नहीं है, है: [2023A II]
(A) 2
(B) -2
(C) -4
(D) 4
उत्तर: (D)
हल: कोई हल न होने के लिए a/2 = 10/5 ≠ 9/11 ⇒ a/2 = 2 ⇒ a = 4.
हल: कोई हल न होने के लिए a/2 = 10/5 ≠ 9/11 ⇒ a/2 = 2 ⇒ a = 4.
40. समीकरण 2x + 3y = 4 एवं 4x + 6y = 12 के आलेख किस प्रकार की सरल रेखाएँ होंगी? [2024A I]
(A) संपाती सरल रेखाएँ
(B) समांतर सरल रेखाएँ
(C) प्रतिच्छेदी सरल रेखाएँ
(D) इनमें से कोई नहीं
उत्तर: (B)
हल: 2/4 = 3/6 ≠ 4/12 ⇒ 1/2 = 1/2 ≠ 1/3. कोई हल न होने से रेखाएँ समांतर होंगी।
हल: 2/4 = 3/6 ≠ 4/12 ⇒ 1/2 = 1/2 ≠ 1/3. कोई हल न होने से रेखाएँ समांतर होंगी।
दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म Objective Questions
41. समीकरण निकाय 2x – 3y + 1 = 0 तथा 3x + y + 2 = 0 के कितने हल हैं? [2024A I]
(A) एक और केवल एक हल
(B) कोई हल नहीं
(C) अनगिनत हल
(D) इनमें से कोई नहीं
उत्तर: (A)
हल: a₁/a₂ = 2/3 तथा b₁/b₂ = -3/1. चूँकि 2/3 ≠ -3, रेखाएँ प्रतिच्छेदी हैं, अतः एक और केवल एक हल होगा।
हल: a₁/a₂ = 2/3 तथा b₁/b₂ = -3/1. चूँकि 2/3 ≠ -3, रेखाएँ प्रतिच्छेदी हैं, अतः एक और केवल एक हल होगा।
42. k के किस मान के लिए समीकरण निकाय x + 2y = 3 तथा 5x + ky = 15 के अनंत हल हैं? [2024A II]
(A) 5
(B) 10
(C) 6
(D) 12
उत्तर: (B)
हल: अनंत हल के लिए 1/5 = 2/k = 3/15 ⇒ 1/5 = 2/k ⇒ k = 10.
हल: अनंत हल के लिए 1/5 = 2/k = 3/15 ⇒ 1/5 = 2/k ⇒ k = 10.
दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म Objective Questions
43. x + 2y + 3 = 0, 3x + 6y + 9 = 0 के कितने हल होंगे? [2025A I]
(A) एक हल
(B) कोई हल नहीं
(C) अनगिनत हल
(D) इनमें से कोई नहीं
उत्तर: (C)
हल: a₁/a₂ = 1/3, b₁/b₂ = 2/6 = 1/3, c₁/c₂ = 3/9 = 1/3. तीनों अनुपात समान हैं (संपाती रेखाएँ), अतः अनगिनत हल होंगे।
हल: a₁/a₂ = 1/3, b₁/b₂ = 2/6 = 1/3, c₁/c₂ = 3/9 = 1/3. तीनों अनुपात समान हैं (संपाती रेखाएँ), अतः अनगिनत हल होंगे।
44. रैखिक समीकरण युग्म 5x – 4y + 8 = 0 एवं 7x + 6y – 9 = 0 है: [2025A I]
(A) संगत
(B) असंगत
(C) आश्रित
(D) इनमें से कोई नहीं
उत्तर: (A)
हल: a₁/a₂ = 5/7, b₁/b₂ = -4/6 = -2/3. 5/7 ≠ -2/3 होने से निकाय का एक हल है, अतः यह संगत है।
हल: a₁/a₂ = 5/7, b₁/b₂ = -4/6 = -2/3. 5/7 ≠ -2/3 होने से निकाय का एक हल है, अतः यह संगत है।
दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म Objective Questions
45. रैखिक समीकरण युग्म 6x – 3y + 10 = 0 एवं 2x – y + 9 = 0 हैं: [2025A II]
(A) अविरोधी
(B) विरोधी
(C) आश्रित
(D) इनमें से कोई नहीं
उत्तर: (B)
हल: 6/2 = -3/-1 ≠ 10/9 ⇒ 3 = 3 ≠ 10/9. कोई हल न होने के कारण यह विरोधी समीकरण युग्म है।
हल: 6/2 = -3/-1 ≠ 10/9 ⇒ 3 = 3 ≠ 10/9. कोई हल न होने के कारण यह विरोधी समीकरण युग्म है।
दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म Objective Questions
46. रैखिक समीकरण युग्म x – y = 0, 3x + 4y – 20 = 0 के आलेखीय निरूपण है: [2026A I]
(A) प्रतिच्छेदी रेखाएँ
(B) सम्पाती रेखाएँ
(C) समान्तर रेखाएँ
(D) इनमें से कोई नहीं
उत्तर: (A)
हल: a₁/a₂ = 1/3 तथा b₁/b₂ = -1/4. 1/3 ≠ -1/4 होने से इनका आलेख प्रतिच्छेदी रेखाएँ हैं।
हल: a₁/a₂ = 1/3 तथा b₁/b₂ = -1/4. 1/3 ≠ -1/4 होने से इनका आलेख प्रतिच्छेदी रेखाएँ हैं।
