संबंध और फलन (Relation and Function) Question Answer ( 1.2 )
संबंध और फलन (Relation and Function) Question Answer ( 1.2 )
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संबंध की परिभाषा [संबंध और फलन (Relation and Function) Question Answer ( 1.2 )]
एक संबंध R, कार्तीय गुणन A×B का एक उपसमुच्चय होता है, जहाँ A और B अरिक्त समुच्चय हैं। A×B का उपसमुच्चय, A और B के अवयवों के बीच संबंध को दर्शाता है। A का एक अवयव एक विशेष क्रम में B के एक अवयव से संबंधित होगा। अन्य अवयव भी उसी क्रम का पालन करेंगे। A के अवयव प्रथम अवयव हैं और B के अवयव द्वितीय अवयव हैं। द्वितीय अवयव को प्रथम अवयव का प्रतिबिम्ब कहते हैं।
मान लीजिए A प्राकृतिक संख्याओं का एक समुच्चय है और B पूर्ण संख्याओं का एक समुच्चय है। x पहला अवयव है, और y क्रमित युग्म (x, y) का दूसरा अवयव है। तब A से B में संबंधों के कुछ उदाहरण हैं –
संबंध और फलन (Relation and Function) Question Answer ( 1.2 )
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R = {(x, y): x, y की अगली गिनती की संख्या है, x ∈ A, y ∈ B}
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R = {(x, y): x, y का वर्ग है, x ∈ A, y ∈ B}
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R = {(x, y): x, y का वर्गमूल है, x ∈ A, y ∈ B}
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R = {(x, y): x, y का गुणज है, x ∈ A, y ∈ B}
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R = {(x, y): x, y का गुणनखंड है, x ∈ A, y ∈ B}
उपरोक्त सभी उदाहरणों में, x और y के बीच एक संबंध है, इसलिए हम x R y लिखते हैं। हम (x, y) ∈ R भी लिख सकते हैं। सभी संबंध A×B के उपसमुच्चय हैं।
संबंधों के प्रकार
1) रिक्त संबंध – समुच्चय A में यदि कोई संबंध R ऐसा हो कि A का अवयव A के किसी भी अवयव से संबंधित ना हो तो संबंध R को रिक्त संबंध कहा जाता है। इसका अर्थ है कि A×A का उपसमुच्चय Φ है। अर्थात, R = Φ है।
उदाहरण – मान लीजिए A सम संख्याओं का समुच्चय है। दर्शाइए कि समुच्चय A में R = {(x, y): x, y की अगली गिनती की संख्या है} द्वारा दिया गया संबंध R, रिक्त संबंध है।
हल – हम जानते हैं कि A सम संख्याओं का समुच्चय है, इसलिए कोई भी संख्या अगली गिनती संख्या नहीं हो सकती है। इसलिए, R रिक्त संबंध है, और R = Φ है।
2) सार्वत्रिक संबंध – समुच्चय A में यदि कोई संबंध R इस प्रकार हो कि A का प्रत्येक अवयव समुच्चय A के ही प्रत्येक अवयव से संबंधित हो तो संबंध R को सार्वत्रिक संबंध कहा जाता है। इसका अर्थ है कि A×A का प्रत्येक उपसमुच्चय संबंध में है। अर्थात, R = A×A है।
उदाहरण – यदि P वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है। दर्शाइए कि समुच्चय P में R = {(a, b): a और b का योग भी एक वास्तविक संख्या है} द्वारा दिया गया संबंध R, सार्वत्रिक संबंध है।
हल – चूँकि P वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है, इसलिए किन्हीं दो संख्याओं का योग भी एक वास्तविक संख्या होगी। इसलिए, संबंध R सार्वत्रिक संबंध है, और R = P×P है।
नोट – कभी-कभी रिक्त संबंध और सार्वत्रिक संबंध को तुच्छ संबंध भी कहा जाता है।
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3) स्वतुल्य संबंध – समुच्चय A में यदि कोई संबंध R ऐसा हो कि A का प्रत्येक अवयव स्वयं से संबंधित हो तो संबंध R को स्वतुल्य संबंध कहा जाता है। इसका अर्थ है A×A के प्रत्येक उपसमुच्चय के लिए, (a, a) ∈ R प्रत्येक a ∈ A के लिए है।
उदाहरण – मान लीजिए कि समुच्चय B = {1, 3, 5, 7} है, तो दर्शाइए कि B में R = {(y, y): y, y से विभाज्य है} द्वारा दिया गया संबंध R, स्वतुल्य संबंध है।
हल – हम जानते हैं कि प्रत्येक संख्या स्वयं से भी विभाज्य होती है, इसलिए समुच्चय B की प्रत्येक संख्या भी स्वयं से विभाज्य होगी। इसलिए, संबंध R स्वतुल्य संबंध है और (y, y) ∈ R प्रत्येक y ∈ B के लिए है।
4) सममित संबंध – एक समुच्चय A में, यदि कोई संबंध R इसप्रकार है कि अवयव a1, अवयव a2 से संबंधित है और अवयव a2, भी अवयव a1 से संबंधित है तो संबंध R को सममित संबंध के रूप में जाना जाता है। A×A के एक उपसमुच्चय के लिए, यदि (a1, a2) ∈ R का तात्पर्य है कि (a2, a1) ∈ R, सभी a1, a2 ∈ A के लिए।
उदाहरण – यदि समुच्चय X = {1, 2, 3} है, तो जाँच करें कि X में R = {(1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3), (3, 2)} द्वारा दिया गया संबंध R, सममित संबंध है या नहीं।
हल – चूँकि R = {(1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3), (3, 2)}
हम देख सकते हैं कि (1, 2) ∈ R और (2, 1) ∈ R भी है। इसका अर्थ है कि 1, 2 से संबंधित है और 2 भी 1 से संबंधित है। अन्य सभी अवयव भी सममित क्रम में एक दूसरे से संबंधित हैं। इसलिए, संबंध R सममित संबंध है।
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5) संक्रामक संबंध – समुच्चय A में एक संबंध R को संक्रामक संबंध कहा जाता है यदि अवयव a1, अवयव a2 से संबंधित है, अवयव a2, अवयव a3 से संबंधित है, और अवयव a1 भी अवयव a3 से संबंधित है। A×A के एक उपसमुच्चय के लिए, यदि (a1, a2) ∈ R और (a2, a3) ∈ R का अर्थ है कि (a1, a3) ∈ R, सभी a1, a2, a3 ∈ A के लिए।
उदाहरण – मान लीजिए समुच्चय T = {राम, श्याम, स्वामी} तो जाँच करें कि T में R = {(x, y): x, y का भाई है} द्वारा दिया गया संबंध R संक्रामक संबंध है या नहीं।
हल – यहाँ, R = {(x, y): x, y का भाई है}
दिए गए संबंध में, यदि राम श्याम का भाई है और श्याम स्वामी का भाई है तो राम भी स्वामी का भाई है। अत: संबंध R संक्रामक संबंध है।
6) तुल्यता संबंध – समुच्चय A में, संबंध R को तुल्यता संबंध कहा जाता है यदि संबंध R स्वतुल्य, सममित और संक्रामक है।
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उदाहरण – यदि समुच्चय E सभी परिमेय संख्याओं का समुच्चय है और R, E में R = {(a, b): a + b एक परिमेय संख्या है} द्वारा दिया गया संबंध है। दर्शाइये कि R एक तुल्यता संबंध है।
हल – हम जानते हैं कि दो परिमेय संख्याओं का योग सदैव एक परिमेय संख्या होती है। इसलिए, संबंध R स्वतुल्य है क्योंकि दो समान परिमेय संख्याओं (a + a) का योग भी एक परिमेय संख्या होता है।
संबंध R सममित है क्योंकि यदि (a + b) एक परिमेय संख्या है तो (b + a) भी एक परिमेय संख्या होगी।
तीन परिमेय संख्याओं a, b, c, के लिए,
यदि (a + b) एक परिमेय संख्या है और (b + c) एक परिमेय संख्या है तो (a + c) भी एक परिमेय संख्या होगी। अत: संबंध R संक्रामक है।
चूँकि संबंध R स्वतुल्य, सममित और संक्रामक है, इसलिए संबंध R एक तुल्यता संबंध है।
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