दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म 10th Ex 3.1

दो चार वाले रैखिक समीकरण युग्म

दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म (Pair Of Linear Equations In Two Variables)

दो चर वाले रैखिक समीकरण का मानक रूप ax + by + c = 0 होता है, जहाँ a, b और c वास्तविक संख्याएँ हैं और a, b ≠ 0 (हम अक्सर a, b ≠ 0 को a² + b² ≠ 0 से दर्शाते हैं)

वह समीकरण जिसे ax + by + c = 0 के रूप में लिखा जा सकता है, दो चर x और y में रैखिक समीकरण कहलाता है। दो चरों वाले रैखिक समीकरणों के कुछ उदाहरण इस प्रकार हैं।

दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म में दो रैखिक समीकरण होते हैं। हम जानते हैं कि दो चर वाले रैखिक समीकरण का हल, मानों का एक युग्म होता है, एक मान x के लिए और दूसरा मान y के लिए। x और y के दोनों मान संबंधित रैखिक समीकरण को संतुष्ट करते हैं।

दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म में, मानों के दो युग्म होंगे, प्रत्येक समीकरण के लिए एक युग्म। दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म 10th Ex 3.1

उदाहरण के लिए, यदि हम समीकरण 2x + 5y + 9 = 0 के बायें पक्ष (LHS) में x = -2 और y = -1 को प्रतिस्थापित करते हैं। तब

LHS = 2x + 5y + 9 = 2(-2) + 5(-1) + 9 = – 4 + (-5) + 9 = – 4 – 5 + 9 = – 9 + 9 = 0

RHS = 0

0 = 0

LHS = RHS

हम देख सकते हैं कि बायां पक्ष (LHS) समीकरण के दायें पक्ष (RHS) के बराबर है। इसलिए, x = -2 और y = -1 समीकरण 2x + 5y + 9 = 0 का एक हल है।

अब यदि हम समीकरण 2x + 5y + 9 = 0 में x = 1 और y = 1 को प्रतिस्थापित करें। तब

LHS = 2(1) + 5(1) + 9 = 2 + 5 + 9 = 16

बायां पक्ष (LHS) समीकरण के दायें पक्ष (RHS) के बराबर नहीं है। इसलिए, x = 1 और y = 1 समीकरण 2x + 5y + 9 = 0 का हल नहीं है।

ज्यामितीय रूप से, बिंदु x = -2 और y = -1 या (-2, -1) समीकरण 2x + 5y + 9 = 0 को निरूपित करने वाली रेखा पर स्थित है क्योंकि यह इस समीकरण का एक हल है और बिंदु (1, 1 ) इस रेखा पर स्थित नहीं है क्योंकि यह इस समीकरण का हल नहीं है।

इसलिए, रैखिक समीकरण का प्रत्येक हल एक बिंदु है जो इसे निरूपित करने वाली रेखा पर स्थित होता है। दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म 10th Ex 3.1

सामान्य तौर पर, हम कह सकते हैं कि किसी भी दो चर वाले रैखिक समीकरण जैसे ax + by + c = 0 के लिए, इस समीकरण का प्रत्येक हल (x, y) एक बिंदु के संगत होता है जो समीकरण को निरूपति करने वाली रेखा पर स्थित होता है,

यदि दो रैखिक समीकरण समान दो चरों जैसे x और y में हों तो इस प्रकार के समीकरणों को दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म कहा जाता है।

दो चर x और y वाले रैखिक समीकरण युग्म का सामान्य रूप इस प्रकार दिया जाता है।

a₁x + b₁y + c₁ = 0

a₂x + b₂y + c₂ = 0

जहाँ a₁, b₁, c₁, a₂, b₂, c₂ वास्तविक संख्याएँ हैं और a₁, b₁ ≠ 0 (a₁² + b₁² ≠ 0), a₂, b₂ ≠ 0 (a₂² + b₂² ≠ 0)

कुछ उदाहरण –     x + 5y + 8 = 0 और 3x + 2y – 4 = 0

6x – y = 7 और 2x – 9y = 0

-x + y = 1 और 3x – 8 = 0

y = 4 और 2y + 5x = -2

हम जानते हैं कि एक रैखिक समीकरण का आलेखीय निरूपण एक सीधी रेखा होता है और दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म के लिए एक साथ दो सीधी रेखाएँ होंगी। लेकिन वे ज्यामितीय रूप से कैसे दिखेंगी?

 

ज्यामितीय रूप से, यदि एक समतल में दो सीधी रेखाएँ एक साथ मौजूद हों तो तीन संभावनाएँ हो सकती हैं।

{1} दोनों रेखाएँ एक दूसरे को एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करेगी।

{2} दोनों रेखाएँ एक दूसरे को प्रतिच्छेद नहीं करेगी, अर्थात वे समानांतर होंगी।

{3} दोनों रेखाएँ आपस में संपाती होंगी।

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