Bihar Board Class 10 Maths दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.4
प्रश्न 1. निम्न समीकरणों के युग्म को विलोपन विधि तथा प्रतिस्थापन विधि से हल कीजिए। कौन-सी विधि अधिक उपयुक्त है?
(i) x + y = 5 और 2x – 3y = 4
(ii) 3x + 4y = 10 और 2x – 2y = 2
(iii) 3x – 5y – 4 = 0 और 9x = 2y + 7
(iv) x/2+2y/3=−1 और x – y/3 = 3
प्रश्न 2. निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरणों के युग्म बनाइए और उनके हल (यदि उनका अस्तित्व हो) विलोपन विधि से ज्ञात कीजिए-
(i) यदि हम अंश में 1जोड़ दें तथा हर में से 1घटा दें, तो भिन्न 1 में बदल जाती है। यदि हर में 1 जोड़ दें, तो यह 12 हो जाती है। वह भिन्न क्या है?
(ii) पाँच वर्ष पूर्व नूरी की आयु सोनू की आयु की तीन गुनी थी। दस वर्ष पश्चात्, नूरी की आयु सोनू की आयु की दो गुनी हो जाएगी। नूरी और सोनू की आयु कितनी है?
(iii) दो अंकों की संख्या के अंकों का योग 9 है। इस संख्या का नौ गुना, संख्या के अंकों को पलटने से बनी संख्या का दो गुना है। वह संख्या ज्ञात कीजिए।
(iv) मीना ₹ 2000 निकालने के लिए एक बैंक गई। उसने खजाँची से ₹ 50 तथा ₹ 100 के नोट देने के लिए कहा। मीना ने कुल 25 नोट प्राप्त किए। ज्ञात कीजिए कि उसने ₹ 50 और ₹ 100 के कितने-कितने नोट प्राप्त किए?
(v) किराए पर पुस्तकें देने वाले किसी पुस्तकालय का प्रथम तीन दिनों का एक नियत किराया है तथा उसके बाद प्रत्येक अतिरिक्त दिन का अलग किराया है। सरिता ने सात दिनों तक एक पुस्तक रखने के लिए ₹ 27 अदा किए, जबकि सूसी ने एक पुस्तक पाँच दिनों तक रखने के ₹ 21 अदा किए। नियत किराया तथा प्रत्येक अतिरिक्त दिन का किराया ज्ञात कीजिए।
दो चरों वाले रैखिक समीकरण(Class 10 Ex 3.4)
दो चर वाले रैखिक समीकरणों के युग्मों को हल करना
दो चरों में रैखिक समीकरणों के युग्मों के समाधान को संबोधित करने के लिए पाँच रणनीतियाँ उपलब्ध हैं,
ग्राफ़िकल विधि
प्रतिस्थापन विधि
क्रॉस गुणन विधि
उन्मूलन विधि
निर्धारक विधि
=
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दो चर वाले रैखिक समीकरणों को हल करने की आलेखीय विधि
दो चरों में रैखिक समीकरणों को ग्राफिक रूप से हल करने के लिए प्रक्रियात्मक चरणों का विवरण दिया गया है:
चरण 1: दो चर वाले दो समीकरणों की प्रणाली को ग्राफ़िक रूप से हल करने के लिए, प्रत्येक समीकरण के लिए एक ग्राफ़ बनाएं। आप यहां प्रक्रिया सीख सकते हैं या नीचे चरण 2 और 3 का पालन कर सकते हैं।
चरण 2: किसी समीकरण की मैन्युअल ग्राफ़िंग के लिए, इसे y के लिए हल करके y = mx + b के रूप में बदलें।
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चरण 3: संगत y-मान निर्धारित करने के लिए, x के मानों जैसे 0, 1, 2 इत्यादि को प्रतिस्थापित करके प्रारंभ करें, या इसके विपरीत।
चरण 4: उस बिंदु की पहचान करें जिस पर दोनों रेखाएँ ग्राफ़ पर प्रतिच्छेद करती हैं।
चरण 5: प्रतिच्छेदन बिंदु समीकरणों की प्रदत्त प्रणाली के समाधान को दर्शाता है।
चित्रण: ग्राफ़िकल दृष्टिकोण का उपयोग करके समीकरणों की आगामी प्रणाली का समाधान निर्धारित करें।
समीकरण:
-x + 2y – 3 = 0
3x + 4y – 11 = 0
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प्रतिस्थापन की विधि
प्रतिस्थापन विधि के माध्यम से दो चर वाले दो रैखिक समीकरणों की प्रणाली को प्रभावी ढंग से हल करने के लिए, चरणों के निम्नलिखित अनुक्रम का पालन करें:
चरण 1: किसी एक चर को अलग करने के लिए किसी एक समीकरण को हल करें।
चरण 2: चरण 1 में प्राप्त मान को दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करें, जिससे यह एकमात्र चर वाला समीकरण बन जाए।
चरण 3: चर के लिए इस व्युत्पन्न समीकरण को हल करें।
चरण 4: इसके बाद, अन्य चर के मूल्य का पता लगाने के लिए चरण 3 में निर्धारित मान को मूल समीकरणों में से किसी एक में प्रतिस्थापित करें।
यह भी जांचें – निर्देशांक ज्यामिति सूत्र
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क्रॉस गुणन विधि
आइए एक रैखिक समीकरण प्रणाली पर विचार करें: a1x + b1y + c1 = 0 और a2x + b2y + c2 = 0.
क्रॉस गुणन विधि का उपयोग करके इस प्रणाली को हल करने के लिए, हम x, y और स्थिरांक के गुणांकों को दिए गए तरीके से व्यवस्थित करके शुरू करते हैं:
क्रॉस गुणन विधि
दो चर वाले रैखिक समीकरणों को हल करने के लिए क्रॉस गुणन विधि
उपरोक्त निरूपण में, तीर इंगित करते हैं कि इन गुणांकों को गुणा करने की आवश्यकता है। इसके बाद, हम क्रॉस-गुणा करके और परिणामी उत्पादों को घटाकर अगला समीकरण स्थापित करते हैं:
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उन्मूलन की विधि
उन्मूलन विधि का उपयोग करके दो चर वाले रैखिक समीकरणों की प्रणाली को प्रभावी ढंग से हल करने के लिए, इन चरणबद्ध निर्देशों का पालन करें:
चरण 1: समीकरणों को मानक रूप में व्यवस्थित करें: ax + by + c = 0 या ax + by = c।
चरण 2: निर्धारित करें कि क्या समीकरणों को जोड़ने या घटाने से कोई एक चर समाप्त हो जाएगा।
चरण 3: यदि नहीं, तो एक या दोनों समीकरणों को ‘x’ या ‘y’ के गुणांक से गुणा करें ताकि उनका जोड़ या घटाव संभव हो सके, जिससे एक चर समाप्त हो जाएगा।
चरण 4: परिणामी एकल-चर समीकरण को हल करें।
चरण 5: इसके बाद, अन्य चर का मान निर्धारित करने के लिए व्युत्पन्न मान को प्रारंभिक समीकरणों में से किसी एक में प्रतिस्थापित करें।
यह भी जांचें – मात्राओं की तुलना करने का फॉर्मूला
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