मैट्रिक परीक्षा 2024 के लिए कक्षा – 10th गणित का महत्वपूर्ण क्वेश्चन आंसर दिया गया है जिसमें आपको गणित का Objective Question तथा Subjective Question दिया गया है लघु उत्तरीय प्रश्न एवं दीर्घ उत्तरीय प्रश्न उत्तर का क्वेश्चन यहां नीचे दिया गया है जहां पर आप बिहार बोर्ड परीक्षा 2024 की तैयारी कर सकते हैं ।
BSEB Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.2
Bihar Board Class 10 Maths दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.2
प्रश्न 1. निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरणों के युग्म बनाइए और उनके ग्राफीय विधि से हल ज्ञात कीजिए-
(i) कक्षा X के 10 विद्यार्थियों ने एक गणित की पहेली प्रतियोगिता में भाग लिया। यदि लड़कियों की संख्या लड़कों की संख्या से 4 अधिक हो तो प्रतियोगिता में भाग लिए लड़कों और लड़कियों की संख्या ज्ञात कीजिए।
(ii) 5 पेन्सिलों तथा 7 कलमों का कुल मूल्य ₹ 50 है, जबकि 7 पेन्सिलों तथा 5 कलमों का कुल मूल्य ₹ 46 है। एक पेन्सिल का मूल्य तथा एक कलम का मूल्य ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 2.
अनुपातों a1/a2, b1/b2 और c1/c2 की तुलना कर ज्ञात कीजिए कि निम्न समीकरण युग्म द्वारा निरूपित रेखाएँ एक बिन्दु पर प्रतिच्छेद करती हैं, समान्तर अथवा सम्पाती है।
प्रश्न 3. अनुपातों a1a2, b1b2 और c1c2 की तुलना कर ज्ञात कीजिए कि निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म संगत हैं या असंगत-
(i) 3x + 2y = 5; 2x – 3y = 7
(ii) 2x – 3y = 8; 4x – 6y = 9
(iii) 32x + 53y = 7; 9x – 10y = 14
(iv) 5x – 3y = 11; -10x + 6y = -22
(v) 43 x + 2y = 8; 2x + 3y = 12
प्रश्न 4. निम्न रैखिक समीकरणों के युग्मों में से कौन-से युग्म संगत/असंगत हैं, यदि संगत हैं तो ग्राफीय विधि से हल ज्ञात कीजिए।
(i) x + y = 5, 2x + 2y = 10
(ii) x – y = 8, 3x – 3y = 16
(iii) 2x + y – 6 = 0, 4x – 2y – 4 = 0
(iv) 2x – 2y – 2 = 0, 4x – 4y – 5 = 0
प्रश्न 5. एक आयताकार बाग, जिसकी लम्बाई, चौड़ाई से 4 मीटर अधिक है, का अर्द्धपरिमाप 36 मीटर है। बाग की विमाएँ ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 6. एक रैखिक समीकरण 2x + 3y – 8 = 0 दी गई है। दो चरों में एक ऐसी और रैखिक समीकरण लिखिए ताकि प्राप्त युग्म का ज्यामितीय निरूपण जैसा कि
(i) प्रतिच्छेद करती रेखाएँ हों।
(ii) समान्तर रेखाएँ हों।
(iii) सम्पाती रेखाएँ हों।
प्रश्न 7. समीकरणों x – y + 1 = 0 और 3x + 2y – 12 = 0 का ग्राफ खींचिए। X-अक्ष और इन रेखाओं से बने त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए और त्रिभुजाकार पटल को छायांकित कीजिए।
दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म (Pair Of Linear Equations In Two Variables)
दो चर वाले रैखिक समीकरण का मानक रूप ax + by + c = 0 होता है, जहाँ a, b और c वास्तविक संख्याएँ हैं और a, b ≠ 0 (हम अक्सर a, b ≠ 0 को a2 + b2 ≠ 0 से दर्शाते हैं)
वह समीकरण जिसे ax + by + c = 0 के रूप में लिखा जा सकता है, दो चर x और y में रैखिक समीकरण कहलाता है।
दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म में दो रैखिक समीकरण होते हैं। हम जानते हैं कि दो चर वाले रैखिक समीकरण का हल, मानों का एक युग्म होता है, । x और y के दोनों मान संबंधित रैखिक समीकरण को संतुष्ट करते हैं।
दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म में, मानों के दो युग्म होंगे, प्रत्येक समीकरण के लिए एक युग्म।
उदाहरण के लिए, यदि हम समीकरण 2x + 5y + 9 = 0 के बायें पक्ष (LHS) में x = -2 और y = -1 को प्रतिस्थापित करते हैं। तब
LHS = 2x + 5y + 9 = 2(-2) + 5(-1) + 9 = – 4 + (-5) + 9 = – 4 – 5 + 9 = – 9 + 9 = 0
इसलिए, रैखिक समीकरण का प्रत्येक हल एक बिंदु है जो इसे निरूपित करने वाली रेखा पर स्थित होता है।
किसी भी दो चर वाले रैखिक समीकरण जैसे ax + by + c = 0 के लिए, इस समीकरण का प्रत्येक हल (x, y) एक बिंदु के संगत होता है जो समीकरण को निरूपति करने वाली रेखा पर स्थित होता है, और विलोम भी ऐसा होता है।
यदि दो रैखिक समीकरण समान दो चरों जैसे x और y में हों तो इस प्रकार के समीकरणों को दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म कहा जाता है।
दो चर x और y वाले रैखिक समीकरण युग्म का सामान्य रूप इस प्रकार दिया जाता है।
a
हम जानते हैं कि एक रैखिक समीकरण का आलेखीय निरूपण एक सीधी रेखा होता है और दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म के लिए एक साथ दो सीधी रेखाएँ होंगी। लेकिन वे ज्यामितीय रूप से कैसे दिखेंगी?
ज्यामितीय रूप से, यदि एक समतल में दो सीधी रेखाएँ एक साथ मौजूद हों तो तीन संभावनाएँ हो सकती हैं।
{1} दोनों रेखाएँ एक दूसरे को एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करेगी।
{2} दोनों रेखाएँ एक दूसरे को प्रतिच्छेद नहीं करेगी, अर्थात वे समानांतर होंगी।
{3} दोनों रेखाएँ आपस में संपाती होंगी।